Голосования

В эпоху какого руководителя России Вы предпочли бы жить?




О том как всё устроено

Её Величество

Наука и образование

21.09.2015 17:36  

uroboros

103

О преподавании и популяризации математики: комментарий к одной телепередаче.

          
   
    Не тема, огурчик!
https://www.youtube.com/watch?v=KWqoP4XKXRY 


    Математики тут собрались по образованию, но, всё-таки, не по призванию.
    Посему кое-что из ляпов наших горе-математиков придётся «подчистить».


      1)  Фёкла:  «Нас делят…»
~~~~  Делят вас, мадам, на  дураков и не дураков…


    2) Бунимович: «Математика является наукой гуманитарной».
~~~~  Действительно, в Индийской Академии наук математику поместили в секцию наук гуманитарных. Только вот математические объекты – не результат произвольного вымысла, а абстрактное представление  окружающей нас реальности. Так же, как и её основа – логика. И на это обращали внимание уже и Декарт с Лейбницем. А Пуанкаре посвятил этой проблеме целую книжку. 
    Иными словами, математика – язык не искусственный; математика – язык Природы. Или Господа Бога. Кому что больше нравится.


    3)  Б.: «Я думаю, что КПД математики – примерно 5%, т.е. на практике используется не более 5% результатов, полученных математиками».
~~~~  Чушь. Что значит «на практике»? 
    Подобного рода некорректности простительны кому угодно, но уж никак не человеку, причисляющему  себя к математикам.
    Если быть точным, то «на практике» из полученных математиками результатов используются лишь готовые расчётные формулы и полученные на их основе числовые  таблицы.
    А теперь нет необходимости даже в формулах и таблицах: достаточно готовых к использованию пакетов прикладных программ. Во всяком случае, в большей части приложений, не требующих непосредственного привлечения к работе математиков-прикладников 
    Даже в приличных технических ВУЗах так называемая «высшая математика» (а что, бывает и «низшая»?) преподносится, по большей части, в виде набора готовых рецептов.
     И даже физикам-теоретикам, максимально приближенным к математике нематематикам,  «математическая кухня» оказывается мало доступной. Оно и понятно: всё увеличивающееся «разделение труда» и связанные с ним барьеры. В том числе и барьеры смысловые.
    Домохозяйке нет резона разбираться в устройстве холодильника или телевизора, мастеру по ремонту бытовой техники – в электротехнике на уровне технического ВУЗа, инженеру-электротехнику – в электродинамике на университетском уровне, а профессору физики – в тонкостях теории уравнений в частных производных, без чего даже классическая электродинамика  - подобие дома, построенного на песке. За него сделает это профессиональный математик – специалист в области математической физики…

    Богу – богово, а кесарю – кесарево…
    Таким образом, непосвящённым математика представляется в виде айсберга, бОльшая (подводная) часть которого скрыта от его глаз. 
    Одна из составляющих этой «подводной» части -  так называемые «теоремы существования», без которых математику как точную науку представить себе невозможно. 
    Символический и наглядный пример.
    Заданный режим полёта ракеты или спутника с учётом воздействия многочисленных внешних факторов описывается некоторой системой дифференциальных уравнений с заданными заранее начальными и граничными условиями.
     Как правило, аналитического решения (в виде формул) такие сложные задачи не имеют. Решить такие задачи можно только приближённо, с помощью специально разработанных численных методов.
    При этом колоссальные затраты труда и времени на алгоритмизацию и программирование задачи могут пойти насмарку просто потому, что может оказаться, что в нашей постановке задача просто не имеет решений.  Или решения эти будут неустойчивыми по отношению к незначительному изменению исходных параметров. 
    Чтобы избежать подобных казусов, математикам  и приходится формулировать и доказывать   так называемые «теоремы существования», в нашем случае – теоремы существования решений дифференциальных уравнений специального вида.  Теоремы, которые «не проходят» студенты-нематематики. И которые, вроде бы, к непосредственной практике отношения не имеют. А с другой стороны, как мы видим, не только в теории, но  и на практике – без них – никуда!
    (Простенькая иллюстрация  «теоремы существования» на школьном уровне:  для существования вещественного решения квадратного уравнения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицательным).
    Помимо теорем существования подводную часть математического айсберга составляют длящиеся иногда десятилетиями и столетиями исследования, уточняющие и обобщающие собственно «словарный запас» математического языка – математические определения. 
    Пара-тройка наглядных примеров.
    А) Школьное определение вектора как «направленного отрезка» - некорректно хотя бы потому, что представляет собой «замкнутый круг»: сразу возникает вопрос – а что такое, собственно, «направленный отрезок»?  Попытка «обойти» этот казус, переопределив вектор как «упорядоченную пару точек»  тоже оказалась неудачной – на сей раз из-за своей чрезмерной общности, не учитывающей операции с векторами и не выводящей на понятие размерности  «содержащего» вектор пространства.
    В итоге пришли к «дедуктивному» определению вектора как элемента некоторого множества, называемого «векторным пространством», элементы которого удовлетворяют определённому набору аксиом.

    Б) Интуитивное представление об «открытом множестве» основывается на понятии «открытого отрезка» числовой прямой и является отправной точкой при определении понятия «непрерывности» и «предела».
     Первое в истории математики безупречное определение предела числовой функции  и её непрерывности в заданной точке дано только  в XIX веке Коши (как раз тот самый давно ставший привычным язык «эпсилон-дельта», который «проходят» современные школьники-старшеклассники). 
     Язык «эпсилон-дельта» легко распространяется на евклидовы пространства произвольной размерности, но становится неприменимым для произвольных множеств. А с точки зрения математики (в том числе и прикладной) понятие непрерывности и предела желательно было распространить на как можно более широкий класс множеств. Причём таким образом, чтобы это новое, обобщённое и абстрактное определение в качестве частного случая включало в себя и ставшее традиционным определение Коши.
     И только через 2,5 тысячи лет после Пифагора и первых греческих математиков, оперировавших на чисто интуитивном уровне понятиями «непрерывности» и «предела» на свет появилось  простое и притом максимально общее определение открытого множества. Кстати, как и определение вектора, определение дедуктивное, введённое Куратовским через понятие «топологического пространства».
    В) Прикладная математика уже как лет 60 интенсивно занимается исследованием так называемых «сложных систем». Примеры таких систем многочисленны и разнообразны:  технические и «антропотехнические» системы (включая интернет), макроэкономика, экологическая система, социум, человеческий (и не только человеческий) мозг… 
    Заниматься-то занимается, но вот беда: до сих пор нет корректного определения самого предмета теории!  Что такое «сложность» и как её, если и не измерить, то хотя бы, сравнить для максимально широкого класса систем, которые представляются нам «сложными» на уровне интуиции?   
    Историю математики  можно представить как мучительный процесс выработки всё более общих и корректных определений, как путь от интуитивного тумана ко всё большей ясности, простоте и, в то же время, общности.  И всё это – та самая, скрытая от непосвящённых прагматиков, «подводная часть айсберга», без которой не было бы и его «надводной части» - математики прикладной.
Практические приложения  математики – одновременно и побочный продукт её внутреннего  развития, и питательная среда для прилива свежих идей «со стороны», и ориентир, препятствующий её превращению в «искусство ради искусства».
     И ещё.  

    Когда мы говорим о практическом применении результатов, полученных в фундаментальной математике, следует иметь в виду, что а) уровень абстракции и новизны этих результатов, как правило,  таков, что для их восприятия и просто для понимания даже математиками-прикладниками требуется иногда солидное время; б) эти результаты практически недоступны в силу недостатка их квалификации даже большинству физиков, не говоря уже об инженерах, экономистах, биологах и, тем более, гуманитариях,  и без  содействия выступающих в качестве посредников математиков-прикладников  представители естественных и гуманитарных наук могут оставаться в неведении до скончания веков. 
    А на передачу и «переваривание» поступающей от математиков информации и приготовление пригодных для практического применения «полуфабрикатов» требуется время. Иногда – годы, иногда – десятилетия, иногда – столетия… Пока «конечный потребитель» не дозреет…
    Классический пример: на прохождение по цепочке «теория гильбертовых пространств -> квантовая физика -> теория жидких кристаллов ->современные  компьютерные дисплеи и телевизоры» потребовалось около 80 лет…


    4)  Б.:  «Изучающим математику следует объяснять, для чего  то, что ему преподают, может ему потребоваться на практике».
~~~~  Утверждение, верное лишь отчасти.
    Во-первых, даже если речь идёт о школьниках или студентах-нематематиках, то исчерпывающего ответа на этот вопрос, просто из-за чрезвычайной общности материала, не существует, и приходится довольствоваться лишь отдельными, хотя, может быть, и довольно общими примерами. Тут всё зависит от таланта и кругозора педагога.
   Во-вторых, будущим профессиональным математикам такое «пережёвывание» может пойти только во вред. Хотя бы потому, что предопределяет круг применимости того или иного метода или математического объекта заранее. Негативные следствия – на поверхности.
    Пара примеров.
    А) На практике (например, для расчёта технических характеристик электродвигателей) комплексные числа стали использоваться лишь спустя 350 лет после их открытия.
    Б)  В течение продолжительного времени экзотической игрушкой считались кватернионы. Пока в первой четверти ХХ века их не «приспособили» в качестве удобного аппарата для расчёта электрических цепей. Чуть раньше на их основе Пуанкаре переформулировал на теоретико-групповом языке специальную теорию относительности, в отличие от эйнштейновской формулировки приобретшей компактную и красивую форму.
    5)  Б.:  «Математика, которой занимался Синай, - не та математика, которая построена на обычной логике…»  
~~~~  Опять чушь. И современная «теория хаоса» в КОНЕЧНОМ СЧЁТЕ строится на фундаменте классической математической логики. «Вероятностная логика» и теория размытых множеств – всего лишь искусственная надстройка (если строго) над  «обычной» формальной теорией 2 порядка. Ничего ПРИНЦИПИАЛЬНО нового – с точки зрения фундаментальной математики – тут нет.

    6) Хазин  - на десерт - о теореме Гёделя. Тоже, к сожалению,  чушь.
    Во-первых, речь в ней идёт исключительно об арифметике и эквивалентных (изоморфных) формальных теориях.
    Во-вторых, и это – самое существенное, для доказательства своей теоремы Гёделю пришлось выйти за пределы той формальной теории, суждение о которой составляет формулировку его теоремы. 
     Другими словами, для того, чтобы исследовать свойства некоего языка (а всякая формальная теория – тот же язык), приходится переходить к так называемому «метаязыку», т.е. к языку «внешнему»  («объемлющему») по отношению к изучаемому объекту. А поскольку на метаязык автоматически переносится свойство неполноты языка –объекта, то не факт, что среди истинных, но не выводимых в рамках метаязыка утверждений не существует утверждения, отвергающего заключение самой теоремы Гёделя.
    Один из вариантов выхода из положения математики надеются найти в рамках  теории типов -  бурно развивающейся области  современной математической логики.  Понимание предмета её исследований и её методологии без специальной подготовки затруднительно, но если очень грубо, то теория эта занимается структурами, образуемыми всевозможным образом связанными друг с другом формальными теориями. В частности, формальными теориями, «вложенными» друг в друга наподобие матрёшек вроде того, как формальная арифметика «вложена» в используемый при доказательстве  теоремы Гёделя метаязык.


                      **************
    И всё-таки, невзирая на «отдельные недостатки», передача в целом получилась отличная. А собравшиеся в студии  - люди замечательные и увлечённые. Очень советую всем пожертвовать на её просмотр какие-то жалкие  55 минут. Не пожалеете!
 


Оцените статью